Поиск геодезических линий на Архимедовых телах

Актуальность

Геодезическая линия — это кратчайшее расстояние между двумя точками на земной поверхности. Этот термин был введён в геодезии — науке о Земле и её параметрах. Но затем геодезическая линия перешла в дифференциальную геометрию, где её интерпретировали в другие пространства. Например, в 1905 г. А. Пуанкаре выдвинул гипотезу о существовании трёх геодезических линий на гладкой выпуклой поверхности в R³. В 1930 г. гипотеза была доказана

Л.А. Люстерником и Л.Г. Шнирельманом; позже было установлено существование бесконечного числа геодезических линий.

На сегодняшний день геодезические линии используются в общей теории относительности, римановой и аффинной геометрии. Поэтому на сегодняшний день геодезическая линия — эквивалент прямой в других пространствах.

Цели

1. Найти геодезические линии на Архимедовых телах (выпуклых многогранниках, состоящих из нескольких типов правильных многоугольников, все многогранные углы равны).
2. Доказать гипотезу: каждое Архимедово тело имеет хотя бы одну геодезическую линию.

Задачи

1. Изучить способы нахождения геодезических линий на таких многогранниках, как тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.
2. Найти различные семейства геодезических линий на усечённом тетраэдре и доказать, что это все возможные варианты.
3. Разработать метод поиска геодезических линий для усечённого тетраэдра, а затем для архимедовых тел.
4. Научиться находить все возможные развёртки усечённого тетраэдра.
5. Найти геодезические линии на архимедовых телах, других многогранниках; автоматизировать процесс.
6. Собрать усечённый тетраэдр, а затем другие архимедовы тела методом Штейнгауза.

Оснащение и оборудование, использованное при создании работы

• Математическая программа GeoGebra
• Персональный компьютер

Описание

В процессе работы автор изучил научные статьи о геодезических линиях, а также следующий метод: многогранник «катается» по плоскости во все стороны, при этом отмечая вершины. Находим два одинаковых отрезка (например, АВ) и отмечаем на первом отрезке точку Х, а на втором — Х’, при этом AX=AX’. Соединяем точки X и X’ «чернильной» прямой. И тетраэдр «катается» по граням, по которым проходит отрезок XX’, который и является геодезической линией. Данный метод был интерпретирован для других многогранников.

Результаты работы/выводы

В результате работы были изучены способы нахождения геодезических линий на тетраэдре и найдены геодезические линии на

3-х Архимедовых телах (на усечённом тетраэдре, усечённом кубе, курносом кубе). По результатам работы можно сделать следующие выводы:

- метод поиска геодезических линий на данный момент нерационален, т. к. включает в себя перебор всех развёрток одного многогранника, но при этом является рабочим;

- поиск геодезических линий на Архимедовых телах может помочь в изучении и исследовании свойств многогранников, что является большим шагом в стереометрии.

Перспективы использования результатов работы

В перспективе проект может ещё больше продвинуть изучение многогранников, а точнее – геодезических линий на них.