Эквидистанты для двух точек в Московской метрике

Руководитель(и) работы: Ногин Дмитрий Юрьевич

Цель:

Провести классификацию эквидистант в зависимости от взаимного положения двух точек в Московской метрике.

Эквидистанта – геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек. На открытой местности эквидистанта между двумя точками – это серединный перпендикуляр отрезка, концами которого являются эти точки. В городе же все обстоит по-другому. Расстояние между двумя точками здесь измеряется не по прямой, а вдоль улиц.

Московская метрика – метрика на плоскости, которая получается, если предположить, что проезд возможен только по радиальным улицам или по круговым аллеям вокруг центра.

Задачи:

• Описать типы кратчайших путей в зависимости от расположения двух точек относительно полюса.
• Описать типы эквидистант для двух точек в Московской метрике.

Автор принимает решение ввести полярную систему координат с началом отсчета в центре Московской метрики (точка, в которой начинаются все радиальные улицы), тогда каждая точка имеет координаты (ρ; φ), где ρ – расстояние до полюса, φ – угол, отсчитываемый в направлении против часовой стрелки от луча (полярной оси системы координат) через 0°.

Пусть A и B − данные точки, а С − точка эквидистанты, тогда для любой точки С должно выполняться: AC=BC, где АС и ВС – кратчайшие расстояния.

Для определения кратчайшего расстояния в Московской метрике относительно каждой точки (ρ0, φ0) все остальные точки (ρ, φ) разбиваются на три области.

Если вторая точка находится в I области, то сначала нужно пройти по радиусу, а потом по окружности.

Если же эта точка находится во II области, то сначала нужно пройти по окружности, а потом по радиусу.

Или, если точка находится в III области, то кратчайший путь будет проходить по двум радиусам через центр.

Если вторая точка E (ρ; φ) находится на каком-либо из двух лучей, который разделяет эти области, то вариантов кратчайших путей будет бесконечно много (угол в 2 радиана).

Если вторая точка E (ρ; φ) находится в первой области, которая задается системой неравенств:

|φ-φ0|≤2 и ρ≤ ρ0, то можно выразить длину кратчайшего пути AE для этой области.

Она будет иметь такой вид:

ρ|φ-φ0|+|ρ-ρ0|

Если вторая точка E (ρ; φ) находится во второй области, которая задается системой неравенств:

|φ-φ0|≤2 и ρ≥ ρ0, то длина кратчайшего пути AE для  этой области имеет такой вид:

ρ0|φ-φ0|+|ρ-ρ0|

Третья область задается неравенством:

|φ-φ0|≥2, если вторая точка E (ρ; φ) в ней, то длина кратчайшего пути AE в этой области имеет такой вид:

ρ0+ρ

Автор рассматривает эквидистанты для двух точек

А (ρ0; φ0)

В (ρ1; φ1)

Вся плоскость разбивается на области в зависимости от взаимного расположения этих точек, поэтому вводится такое обозначение:

С12 – область рассмотрения эквидистанты. Первая цифра показывает ее положение относительно точки А, вторая – относительно В. (С12: точки эквидистанты лежат в первой области относительно А, во второй – относительно В)

Результаты:

1. Сделан вывод о том, что относительно данной точки, не лежащей в центре, имеется три разных расположения другой точки. Тем самым, относительно данной точки плоскость делится на три области, в каждой из которых длина кратчайшего пути считается по-разному.
2. Вычислена длина кратчайшего пути для каждой из этих трех областей.
3. С учетом этого установлено, что имеется девять случаев взаимного расположения двух точек в Московской метрике.
4. Для каждого из девяти случаев найдена эквидистанта: выписано уравнение и построен график. Все девять типов эквидистант имеют различный вид. В двух случаях из девяти эквидистанта не является кривой, а содержит сектор плоскости.

5. В качестве примера построено разбиение части Москвы внутри Садового кольца на области, соответствующие ближайшей станции метрополитена.

Применение:

С помощью эквидистант можно разбить карту Москвы (если считать, что планировка этого города полностью соответствует Московской метрике) на области, которые показывают, к какой станции метро идти ближе.

(Для примера автор выбрал станции метро, находящиеся в пределах Садового кольца).