Эквидистанты для двух точек в Московской метрике
Цель работы − создание виртуальной версии музея М.В. Ломоносова ГБОУ Школы № 1530 «Школа Ломоносова» г. Москвы |
Направление работы: Метрическое пространство Москвы
Авторы работы: ГБОУ Школа № 1553 имени В.И. Вернадского
Предметы: Геометрия
Классы: 11 класс
Мероприятия: Открытая городская научно-практическая конференция «Наука для жизни» 4−5 апреля 2018 г.
|
Руководитель(и) работы: Ногин Дмитрий Юрьевич
Цель:
Провести классификацию эквидистант в зависимости от взаимного положения двух точек в Московской метрике.
Эквидистанта – геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек. На открытой местности эквидистанта между двумя точками – это серединный перпендикуляр отрезка, концами которого являются эти точки. В городе же все обстоит по-другому. Расстояние между двумя точками здесь измеряется не по прямой, а вдоль улиц.
Московская метрика – метрика на плоскости, которая получается, если предположить, что проезд возможен только по радиальным улицам или по круговым аллеям вокруг центра.
Задачи:
- Описать типы кратчайших путей в зависимости от расположения двух точек относительно полюса.
- Описать типы эквидистант для двух точек в Московской метрике.
Автор принимает решение ввести полярную систему координат с началом отсчета в центре Московской метрики (точка, в которой начинаются все радиальные улицы), тогда каждая точка имеет координаты (ρ; φ), где ρ – расстояние до полюса, φ – угол, отсчитываемый в направлении против часовой стрелки от луча (полярной оси системы координат) через 0°.
Пусть A и B − данные точки, а С − точка эквидистанты, тогда для любой точки С должно выполняться: AC=BC, где АС и ВС – кратчайшие расстояния.
Для определения кратчайшего расстояния в Московской метрике относительно каждой точки (ρ0, φ0) все остальные точки (ρ, φ) разбиваются на три области.
Если вторая точка находится в I области, то сначала нужно пройти по радиусу, а потом по окружности.
Если же эта точка находится во II области, то сначала нужно пройти по окружности, а потом по радиусу.
Или, если точка находится в III области, то кратчайший путь будет проходить по двум радиусам через центр.
Если вторая точка E (ρ; φ) находится на каком-либо из двух лучей, который разделяет эти области, то вариантов кратчайших путей будет бесконечно много (угол в 2 радиана).
Если вторая точка E (ρ; φ) находится в первой области, которая задается системой неравенств:
|φ-φ0|≤2 и ρ≤ ρ0, то можно выразить длину кратчайшего пути AE для этой области.
Она будет иметь такой вид:
ρ|φ-φ0|+|ρ-ρ0|
Если вторая точка E (ρ; φ) находится во второй области, которая задается системой неравенств:
|φ-φ0|≤2 и ρ≥ ρ0, то длина кратчайшего пути AE для этой области имеет такой вид:
ρ0|φ-φ0|+|ρ-ρ0|
Третья область задается неравенством:
|φ-φ0|≥2, если вторая точка E (ρ; φ) в ней, то длина кратчайшего пути AE в этой области имеет такой вид:
ρ0+ρ
Автор рассматривает эквидистанты для двух точек
А (ρ0; φ0)
В (ρ1; φ1)
Вся плоскость разбивается на области в зависимости от взаимного расположения этих точек, поэтому вводится такое обозначение:
С12 – область рассмотрения эквидистанты. Первая цифра показывает ее положение относительно точки А, вторая – относительно В. (С12: точки эквидистанты лежат в первой области относительно А, во второй – относительно В)
Результаты:
- Сделан вывод о том, что относительно данной точки, не лежащей в центре, имеется три разных расположения другой точки. Тем самым, относительно данной точки плоскость делится на три области, в каждой из которых длина кратчайшего пути считается по-разному.
- Вычислена длина кратчайшего пути для каждой из этих трех областей.
- С учетом этого установлено, что имеется девять случаев взаимного расположения двух точек в Московской метрике.
- Для каждого из девяти случаев найдена эквидистанта: выписано уравнение и построен график. Все девять типов эквидистант имеют различный вид. В двух случаях из девяти эквидистанта не является кривой, а содержит сектор плоскости.
-
В качестве примера построено разбиение части Москвы внутри Садового кольца на области, соответствующие ближайшей станции метрополитена.
Применение:
С помощью эквидистант можно разбить карту Москвы (если считать, что планировка этого города полностью соответствует Московской метрике) на области, которые показывают, к какой станции метро идти ближе.
(Для примера автор выбрал станции метро, находящиеся в пределах Садового кольца).